[QGSS 2021] 양자 컴퓨터 들어가기(1) - 벡터 공간, 텐서곱, 큐비트

목차

1. 비트 부터 큐비트까지 : 디랙 표기법, 행렬, 측정, 블로흐구

2. 양자 회로 : 기본 단일 큐비트와 두개의 큐비트에 대한 게이트, 여러개의 양자 상태

3. 얽힘 : 벨 상태, 양자 통신, 양자 구

 

---

1. 비트 부터 큐비트까지

고전 컴퓨터에서 연산을 위해 가장 기초적인 단위로 "비트(Bit)"를 사용한다. 비트는 0과 1의 값을 가질 수 있고 각 참과 거짓 혹은 서로 베타적인 상태를 나타낸다.

즉, 전구가 켜져있음 / 꺼져있음 과 같이 두가지로 나누어 상태를 나타 낼 수 있는 것이다.

양자 컴퓨터에서는 이해하기 어렵겠지만 0과 1이 동시에 존재하는 상태를 가진다. 이것은 양자 역학의 "중첩" 현상을 이용한 것으로 이 현상 덕분에 "양자 컴퓨터가 속도가 빠르다." 라는 이야기가 나올 수 있는 것이다.

중첩현상은 많은 상태를 동시에 계산 할 수 있게 한다.

+) 덧, 중첩현상 상태 결정에 대하여. 중첩 상태가 한번 측정이 되면, 어느 특정 상태로 붕괴하게 된다. 이때 우리는 중첩 현상에 놓인 모든 상태 중 하나의 답을 얻을 수 있다. 

 

- 디랙 표기법과 행렬

양자 상태를 나타내기 위해 사용된다. 

다음과 같이 정의하고 기본적인 연산을 취한다. 양자 정보에서 다루는 0과 1은 다음과 같이 표기한다.

양자 정보에서 많이 사용하는 행렬은 두가지이다. 에르미트 행렬과 유니터리(단일) 행렬이다. 그 중 유니터리 행렬이 더 중요하다.

먼저 에르미트 행렬에 대해, 에르미트 행렬은 복소 켤레가 같은 행렬을 의미한다. 원래의 행렬에 긴 십자가 모양의 에르미트 연산자를 취하고, 원래의 행렬과 비교해서 판단한다. 이때 에르미트 연산을 한 행렬이 원래 행렬과 같다면 이 행렬을 에르미트 행렬이라 칭한다.

유니터리 행렬. 양자 계산을 하는 대부분의 행렬이 유니터리 행렬이다. 역행렬이 원래 행렬의 켤레전치인 행렬을 의미한다. 다시 풀어서 의미를 생각해보면, 다음과 같다. 역행렬은 원래 행렬과 곱했을때 단위행렬이 나온다. 이 식을 이용해 단일 행렬을 판별해보면, 켤레전치에 해당하는 에르미트 연산을 취한 행렬과 원래 행렬을 곱하였을때 단일 행렬이 나와야 한다. 예시는 아래 사진과 같다.

- 측정

|ψ⟩ 에 대해 |x⟩ 상태로 측정될 확률을 구하는 방식

파동함수가 주어졌을때, 0인 상태로 측정될 확률을 구하는 예시를 보여주겠다.

- 블로흐구

큐비트는 블로흐구(상태공간)내에 상태 벡터로 표현 할 수 있다. 이때 벡터는 구의 표면의 어느 곳에서나 회전 할 수 있다. 단, 표면에서만 회전 할 수 있다.    

파동함수는 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩의 꼴로 표기된다. 이때 |0⟩일 상태와 |1⟩일 상태일 확률의 합이 전체 확률이므로, 각 확률의 제곱 합이 1이 되어야 한다. (보른의 규칙) 때문에 항상 노름(길이)이 1이다. 반지름이 1인 블로흐구의 표면만 지날 수 있는 형태가 되는 것이다.

덧, 블로흐구는 직관적으로 2θ만큼 보인다. 블로흐구 상의 |0⟩과 |1⟩은 직교한다. 직교한다는 의미는 두 벡터가 이루는 각이 90도 라는 말이다. 그림 상에서는 반바퀴에 해당하여 180도 인 것 처럼 보이지만 둘의 각은 90도를 이루고 있다.

참고자료

- Qiskit 페이지 | Vector Spaces, Tensor Products, and Qubits

https://learn.qiskit.org/summer-school/2021/lec1-1-vector-spaces-tensor-products-qubits

- 유튜브 링크 | Vector Spaces, Tensor Products, and Qubits

https://youtu.be/xgA4Dx_7q34

- 위키피디아 비트

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B9%84%ED%8A%B8_(%EB%8B%A8%EC%9C%84) 

- Qiskit Text Book | Linear Algebra

https://qiskit.org/textbook/ch-appendix/linear_algebra.html